Урок. Формула бинома Ньютона
Цель: Обсудить формулу бинома Ньютона и ее применение. Ход урока I. Сообщение темы и цели урока II. Повторение и закрепление пройденного материала 1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач). 2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа). Вариант 1 1. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 3,4, 8?
2. Из 24 участников собрания надо выбрать председателя, его заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? 3. Миша имеет восемь, а Витя - семь различных конфет. Сколькими способами мальчики могут поменяться пятью конфетами? Вариант 2 1. Сколько различных трехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0,4, 5? 2. Из 28 спортсменов надо выбрать капитана команды и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
3. Коля имеет девять, а Лёня - восемь различных конфет. Сколькими способами мальчики могут поменяться шестью конфетами? III. Изучение нового материала Рассмотрим Возведение в степень П Двучлена (бинома) A + Ь И Отметим определенные закономерности.
Имеем: прии = 0(а + 6)°=1; при П = 1 (а + Ь)] = а + Ь\ При П = 2 (а + Bf = а2 + Lab + B2; При П = 3 (а + Bf = а + Ъа2Ь + ЪаЬ2 + Ь3; При П = 4 (а + Bf = а4 + 4а*Ь + 6а2Ь2 + АаЬг + B\ 214 Глава 9. Элементы Математической Статистики Прежде всего отметим, что при возведении бинома A + B В степень П Получаем Однородный многочлен Также степени П. Напомним, что однородным многочленом степени П По переменным А И B Называют многочлен, состоящий из одночленов той же степени П, Т. е. из одночленов вида A"~KBk (где К = О, 1, 2, ... , П - 1, П). Например, при возведении во вторую степень {а + Ь)2 Получаем однородный многочлен также второй степени А2 + Lab + B2. При этом коэффициенты при одночленах тоже связаны определенными закономерностями. Докажем, что выполняется формула (формула бинома Ньютона): (а + 6)" = С>" + СУ"7> + Су-У^ Где С* - число сочетаний из П Элементов по К, Т. е.
С* =- '---- . " К\(п-к)\ При возведении бинома А + B В Степень П Надо П Раз перемножить этот бином, т. е. {а + B)(A + B)...(A + Ь). Чтобы при раскрытии скобок получить одночлен вида А"~кЬк, нужно из П Множителей вида А + B Выбрать К Множителей (порядок неважен). Тогда получим множитель Ьк. Это можно сделать Ск Способами. При этом второй множитель А" К Получается автоматически. Итак, формула доказана. Коэффициенты С* также называют Биномиальными. Они обладают рядом Свойств, Которые обсудим, рассмотрев Треугольник ПаскаЛя (составленную определенным образом таблицу).
