RusLit – русский язык и литература в школе
Лучшие методики преподавания русского языка для учителей в школе и готовые литературные работы школьникам
RusLit – русский язык и литература  в школе
Navigation
  • Русский язык
    • Пунктуация
  • Литература
    • Литературный процесс
    • Литература и текст
    • Теория литературы
  • Контакты
Вы здесь: Главная › Рефераты › Урок. Формула бинома Ньютона

Урок. Формула бинома Ньютона

Цель: Обсудить формулу бинома Ньютона и ее применение. Ход урока I. Сообщение темы и цели урока II. Повторение и закрепление пройденного материала 1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач). 2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа). Вариант 1 1. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 3,4, 8?

2. Из 24 участников собрания надо выбрать председателя, его заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? 3. Миша имеет восемь, а Витя - семь различных конфет. Сколькими способами мальчики могут поменяться пятью конфетами? Вариант 2 1. Сколько различных трехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0,4, 5? 2. Из 28 спортсменов надо выбрать капитана команды и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

3. Коля имеет девять, а Лёня - восемь различных конфет. Сколькими способами мальчики могут поменяться шестью конфетами? III. Изучение нового материала Рассмотрим Возведение в степень П Двучлена (бинома) A + Ь И Отметим определенные закономерности.

Имеем: прии = 0(а + 6)°=1; при П = 1 (а + Ь)] = а + Ь\ При П = 2 (а + Bf = а2 + Lab + B2; При П = 3 (а + Bf = а + Ъа2Ь + ЪаЬ2 + Ь3; При П = 4 (а + Bf = а4 + 4а*Ь + 6а2Ь2 + АаЬг + B\ 214 Глава 9. Элементы Математической Статистики Прежде всего отметим, что при возведении бинома A + B В степень П Получаем Однородный многочлен Также степени П. Напомним, что однородным многочленом степени П По переменным А И B Называют многочлен, состоящий из одночленов той же степени П, Т. е. из одночленов вида A"~KBk (где К = О, 1, 2, ... , П - 1, П). Например, при возведении во вторую степень {а + Ь)2 Получаем однородный многочлен также второй степени А2 + Lab + B2. При этом коэффициенты при одночленах тоже связаны определенными закономерностями. Докажем, что выполняется формула (формула бинома Ньютона): (а + 6)" = С>" + СУ"7> + Су-У^ Где С* - число сочетаний из П Элементов по К, Т. е.

С* =- '---- . " К\(п-к)\ При возведении бинома А + B В Степень П Надо П Раз перемножить этот бином, т. е. {а + B)(A + B)...(A + Ь). Чтобы при раскрытии скобок получить одночлен вида А"~кЬк, нужно из П Множителей вида А + B Выбрать К Множителей (порядок неважен). Тогда получим множитель Ьк. Это можно сделать Ск Способами. При этом второй множитель А" К Получается автоматически. Итак, формула доказана. Коэффициенты С* также называют Биномиальными. Они обладают рядом Свойств, Которые обсудим, рассмотрев Треугольник ПаскаЛя (составленную определенным образом таблицу).

1) В каждой строке находятся коэффициенты одночленов при возведении в степень П. Например, при П = 3 имеем коэффициенты 1, 3, 3, 1 одночленов в многочлене А3 +Ъа2Ь + ЪаЬ2 4-б\ 2) Каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. Например, С\ =С?+С12 (или 3 = 1 + 2) и С] = С2+С2 (или 3=2+ 1).

Эта закономерность указана линиями. Другими сло-

П-1 ' Вами, в общем виде выполняется равенство С* = С*_, + С( Урок 61. Формула Бинома Ньютона 215 3) Коэффициенты в строке симметричны относительно середины. Например, при П = 3 получили симметричные коэффициенты 1, 3, 3, 1. Иначе, в общем случае справедливо равенство С* = С*-1. 4) Крайние коэффициенты в каждой строке равны 1, т. к.

С° = 1 и C; = i. Пример 1 Возведем бином A + Ь В четвертую степень. 1) Учитывая формулу бинома Ньютона, выпишем структуру ответа: (а + Ь)4 = ...а4 + ...аъЪ + ...а2Ь2 + ...аЬъ + ..Ь4. 2) Используя треугольник Паскаля, вместо знаков... расставим соответствующие биномиальные коэффициенты и окончательно получим: (а + Ь)4 =а4 + 4а*Ь + 6а2Ь2 +АаЬъ +Ь4. Аналогично поступают и в случае более громоздких биномов. Пример 2 Возведем бином 2х - Ъу2 В куб. Подобно предыдущему примеру, получим: (A-Vbf =а3 + Ъа2Ь + л-ЪаЬ2 + Ьъ. Учтем, что в нашем случае А — 2х И Ъ — —Ъу. Тогда имеем: (2х - Ъу2 У = (2х)3 + 3(2х)2 (-3/) + 3 • {2х)(-Ъу2 )2 + {-Ъу2 F = = 8х3 - Ъ6х2у2 + 54ху4 - 27/.

Итак, получили: (2х - Ъу2 )3 = = 8х3 -Ъ6х2у2 + 54ху4 -27/. Пример 3 Докажем, что сумма коэффициентов в каждой строке треугольника Паскаля равна 2". Другими словами, надо доказать, что справедливо равенство Сп + С1 + ••• + ^Г' + С" = 2". Запишем формулу бинома Ньютона: (а + Ь)п =СУ+Cy-XB + ... + Cnn-XAb"-[+СппЬп. Теперь легко сообразить: чтобы в правой части этого равенства получилась сумма биномиальных коэффициентов, достаточно в равенство подставить значения А = 1 и Ъ = 1.

Получаем: 2" =СЛ° +Cln +... + С;"1 + С,", что и требовалось доказать. Пример 4 Найдем сумму S = пСп + (п-\)С\ + {п-2)С; -к.. + 2С;~2 + С;"1.

Используя формулу бинома Ньютона, получим равенство: (х+1)" = = C*X"+Clxn-} +CwV_2+... + C;"V +с;"'д: + С;.

Найдем производ- 216 Глава 9. Элементы Математической Статистики Ную от обеих частей этого равенства: П(х + \)" ] = Сппхп + + С^(/7-1)х""2+Сп2(п-2)хй"3+... + С;2-2х+СяяЧ. Теперь в это равенство подставим значение х = 1. Имеем: П-2"~х = С° -п + С\ -(л —1) + + С2 • (п-2) +...

+ С"~2 • 2 + Спп~х. Таким образом, искомая сумма S = N-2N~]. Рассмотрим более сложные задачи. Пример 5 1 V" Сумма биномиальных коэффициентов разложения 2ях + - , V 2пх ) Равна 64.

Найти слагаемое, не содержащее х. Прежде всего необходимо найти я. Так как сумма биномиальных коэффициентов равна 64 = 26, то (с учетом примера 3) получаем равенство 23" = 26, откуда П = 2. Тогда имеем разложение 4х + —- . Член тако- L 4x-J ( 1 V го разложения Т&\ С номером К + 1 равен ГАИ = С6* -(4л:)6 * • —: V4x = С* -46"* х6"* -4"* х"2* = С* -46"2* х6"3*. Так как этот член не дол- Жен зависеть от х, то показатель степени при х равен нулю, т. е

6 - Зк = 0, откуда К = 2. Теперь найдем этот член: Т3 =С% -42 = Т =С2 42 =-------- 42 =15*16 = 240. Итак, указанным свойством об- 2!-4!

1*2 Ладает третий член разложения, и он равен 240. Пример 6 При каких значениях х четвертое слагаемое разложения (5 + 2х)16 больше двух соседних с ним слагаемых? Член такого разложения Тк+\ С номером К + 1 имеет вид Тк+Х = С*6 *516~* -(2х)*. Запишем четвертый член (к = 3) Г4 = С,36 -515 -(2х)3, третий член (к =2) Тъ = С,26 *514 *(2х)2 и пятый член (А - = 4) Т5 =С*ь-5] -(2х)4. По условию задачи Г4 > Т3 + Г5. Получаем неравенство: С,3Ь -513 *(2х)3 > С2Ь -5й *(2х)2 + С,46 -I5'2 *(2х)4 или ,6!.5^2V>-^.5".2V+-16!

3!13! 2!14! 4!12! 14!-4! Ти этого неравенства на положительное выражение 16! -5,2.22-х2 Урок 62. Случайные События И Их Вероятности 217 (очевидно, Х Ф 0) и после преобразований получим квадратное неравенство 364х2-495х+150<0.

Решение этого неравенства — IV. Контрольные вопросы 1. Формула бинома Ньютона. 2. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. 3.

Основные свойства биномиальных коэффициентов. V. Задание на уроке § 53, № 1 (а, г); 2 (в, г); 3 (а, в); 4 (а); 5 (а, в); 6 (б); 7. VI. Задание на дом § 53, № 1 (б, в); 2 (а, б); 3 (б, г); 4 (б); 5 (б, г); 6 (а). VII. Подведение итогов урока

Материалы по теме:

  • Примерные варианты контрольных работ по информатикеПримерные варианты контрольных работ по информатике
  • Задание — В каком слове в корне наблюдается чередование согласных?Задание — В каком слове в корне наблюдается чередование согласных?
  • Разработка урока: «Сталинградская битва: коренной перелом в войне»Разработка урока: «Сталинградская битва: коренной перелом в войне»
  • Математика — Первое полугодие 1 классМатематика — Первое полугодие 1 класс
  • Зачетная работа по теме «Квадратичная функция»Зачетная работа по теме «Квадратичная функция»
  • Уніатський релігійно-церковний рух у східно-європейськомуУніатський релігійно-церковний рух у східно-європейському

Рубрики

  • Литература
  • Литература для учащихся
  • Литература и текст
  • Литературный процесс
  • Методика
  • Морфемика
  • Морфология
  • Орфография
  • Программы, пособия
  • Пунктуация
  • Рефераты
  • Русский язык
  • Русский язык для учащихся
  • Словообразование
  • Сочинения
  • Теория литературы
  • Тестирование
  • Учебные программы
  • Фонетика
  • Фонология

Новые сочинения

  • Смешное и трагическое в комедии Д. И. Фонвизина Недоросль
  • Б. Л. Пастернак Доктор Живаго
  • Мертвые души в поэме Гоголя
  • Порок под личиной добродетели
  • СЮЖЕТНО-КОМПОЗИЦИОННОЕ СВОЕОБРАЗИЕ РОМАНА БУЛГАКОВА МАСТЕР И МАРГАРИТА

© 2021 RusLit – русский язык и литература в школе